Kristallsystem

Kubisches Kristallsystem

Das kubische Kristallsystem gehört zu den sieben Kristallsystemen in der Kristallographie. Es umfasst alle Punktgruppen, die in vier unterschiedlichen Richtungen jeweils eine dreizählige Dreh- oder Drehinversionsachse besitzen. Diese vier dreizähligen Achsen verlaufen in kubischen Kristallen entlang der vier Raumdiagonalen der Elementarzellen, deren Gestalt einem Würfel entspricht. Oft werden auch (drei) vierzählige Drehachsen als Eigenschaft des kubischen Kristallsystems angegeben. Dies stimmt für das Achsensystem und die abstrakten kubischen Gitter, aber nicht allgemein für Kristallstrukturen, da es kubische Punktgruppen gibt, die keine vierzählige Symmetrie besitzen.

Alle 3 Achsen des Achsenkreuzes sind gleich lang und schneiden sich im rechten Winkel.
a = b = c
α = β = γ = 90°

Ein Kristall ist kubisch, wenn er mindestens zwei dreizählige Drehachsen aufweist.

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Klassen und Raumgruppen

Das kubische System hat fünf Klassen:

• tetraedrisch-pentagondodekaedrisch, Int. Symbol 23, Schoenflies-Symbol T, Beispiel: Ullmannit
  Raumgruppen: P23, F23, I23, P2₁3, I2₁3
• disdodekaedrisch, Int. Symbol m3 (2/m 3), Schoenflies-Symbol T_h, Beispiel: Pyrit
  Raumgruppen: Pm3, Pn3, Fm3, Fd3, Im3, Pa3, Ia3
• pentagonikositetraedrisch, Int. Symbol 432, Schoenflies-Symbol O,
  Raumgruppen: P432, P4₂32, F432, F4₁32, I432, P4₃32, P4132, I4₁32
• hexakistetraedrisch, Int. Symbol 43m, Schoenflies-Symbol T_d, Beispiel: Zinkblende,
  Raumgruppen: P43m, F43m, I43m, P43n, F43c, I43d
• hexakisoktaedrisch, Int. Symbol m3m (4/m 32m) Schoenflies-Symbol O_h, Beispiel: Gold, Magnetit, Galenit, Fluorit, Granat
  Raumgruppen: Pm3m, Pn3n, Pm3n, Pn3m, Fm3m, Fm3c, Fd3m, Fd3c, Im3m, Ia3d

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(Kristallformen) Körper- und Flächenformen im kubischen Kristallsystem

Carakteristischen Formen des kubischen Kristallsystems

• tetraedisches Pentagondodekaeder
• Disdodekaeder
• Pentagonikositetraeder (24 Fünfecke)
• Hexakistetraeder
• Hexakisoktaeder (holoedrisch, 48 Dreiecke)

Flächenformen des kubischen Kristallsystems

• Tetraeder
• Hexaeder
• Oktaeder
• Pentagondodekaeder (s.u.)
• Ikosaeder (s.u.)
• Rhombendodekaeder (12 Rhomben)
• Triakisoktaeder
• Tetrakishexaeder (24 gleichschenklige Dreiecke)
• Deltoidikositetraeder (24 Vierecke) (s.u.)

Pentagondodekaeder, Ikosaeder und Deltoidalikositetraeder

Das kubische Pentagondodekaeder hat 12 Flächen, 20 Ecken und 30 Kanten. Die Flächen (Fünfecke) sind aber nicht gleichseitig. Jede der 12 Flächen hat vier kürzere und eine längere Kante. Insgesamt besitzt das Polyeder 24 kürzere und 6 längere Kanten. Es besitzt dabei kubische Symmetrie. In der Natur kommt Pyrit (FeS2) manchmal in der Gestalt von kubischen Pentagondodekaedern vor. Deshalb wird das kubische Pentagondodekaeder auch Pyrit-Dodekaeder oder Pyritoeder genannt. Bei Kristallen sind fünfzählige Achsen unmöglich, wie das reguläre Pentagondodekaeder sie besitzt, weil es keine lückenlose periodische Flächenfüllung mit fünfzähliger Symmetrie gibt. Nur bei nicht streng periodischen „Kristallen“, also Quasikristallen, ist ein reguläres Pentagondodekaeder denkbar. Das Ikosaeder ist das zum Dodekaeder duale Polyeder (und umgekehrt). Wegen seiner hohen Symmetrie – alle Ecken, Kanten und Flächen sind untereinander gleichartig – ist das Ikosaeder ein reguläres Polyeder. Es hat: 6 fünfzählige Drehachsen (durch gegenüberliegende Ecken), 10 dreizählige Drehachsen (durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Flächen), 15 zweizählige Drehachsen (durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Kanten), 15 Symmetrieebenen (durch einander gegenüberliegende – und parallele Kanten) und ist punktsymmetrisch (Punktspiegelung am Mittelpunkt des Polyeders).

Insgesamt hat die Symmetriegruppe des Ikosaeders – die Ikosaeder- oder Dodekaedergruppe – 120 Elemente (Ikosaedergruppe). Nach dem mathematischen Gesetz des kubischen Systems könnten die idealen Platonischen Körper Pentagondodekaeder und Ikosaeder mit ihrer Fünfersymmetrie nicht konstruiert werden.Die Symmetrie des Ikosaeders ist (wegen der bei ihm auftretenden fünfzähligen Symmetrie) mit einer periodischen Raumstruktur nicht verträglich. Es kann daher kein Kristallgitter mit Ikosaedersymmetrie geben (s.a. Quasikristalle). Das Ikosaeder ist das zum Dodekaeder duale Polyeder (und umgekehrt). Mit Hilfe von Ikosaeder und Dodekaeder können zahlreiche Körper konstruiert werden, die ebenfalls die Ikosaedergruppe als Symmetriegruppe haben. So erhält man zum Beispiel einen Ikosaederstumpf (abgestumpftes Ikosaeder) mit 20 Sechsecken und 12 Fünfecken (Anwendung als Fußball (siehe unten)) (s.a. Fulleren). Er entsteht aus dem Ikosaeder, indem die Ecken senkrecht zu den Verbindungsgeraden der Ecken mit dem Körpermittelpunkt gekappt werden, wobei regelmäßige Fünfecke als Schnittflächen auftreten und die Dreiecke zu Sechsecken mutieren.

Das Deltoidalikositetraeder (auch Deltoidikositetraeder genannt) ist ein konvexes Ikositetraeder, also ein Polyeder mit 24 Seitenflächen, bei dem diese Flächen zueinander kongruente Deltoide sind. Es zählt zu den Catalanischen Körpern. Es ist dual zum Rhombenkuboktaeder und hat 26 Ecken sowie 48 Kanten. In der Kristallographie und Mineralogie wird das Deltoidalikositetraeder oft (verkürzt) nur als Ikositetraeder bezeichnet, daneben auch als Trapezoeder oder Leucitoeder (es ist die typische Kristallform des Leucits).

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Punktgruppen

Das kubische Kristallsystem umfasst die Punktgruppen23, m 3 ¯, 432, 4 ¯ 3 m {\displaystyle \ 23,\,m{\bar {3}},\,432,\,{\bar {4}}3m} und m 3 ¯ m {\displaystyle m{\bar {3}}m}. Sie bilden die kubische Kristallfamilie und können mit dem kubischen Gittersystem beschrieben werden.

Gittersystem

Bravais-Gitter

m Kubischen gibt es drei Bravais-Gitter, die in der Literatur auch oft mit ihrer englischen Abkürzung bezeichnet werden: das primitive (sc für simple cubic), das raumzentrierte oder innenzentrierte (krz bzw. bcc für body centered cubic) und das flächenzentrierte (fcc für face centered cubic) Gitter.

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Tetragonales Kristallsystem

2 Achsen des Achsenkreuzes sind gleich lang, die dritte ist länger oder kürzer. Alle schneiden sich im rechten Winkel.
a = b ≠ c
α = β = γ = 90°

Ein Kristall ist tetragonal, wenn es eine einzige vierzählige Drehachse aufweist.

Die Tabelle rechts beschreibt alle Kristallformen die im tetragonalen Kristallsystem möglich sind.

Charakteristische tetragonale Kristalle

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Hexagonales Kristallsystem

3 gleichlange Achsen des Achsenkreuzes liegen in einer Ebene und schneiden sich unter 120 Grad. Die vierte Achse ist ungleich und steht senkrecht auf dieser Ebene.
a₁ = a₂ = a₃ ≠ c
α = β = 90°; γ = 60° respektive 120°

Ein Kristall ist hexagonal, wenn es eine sechzählige Drehachse aufweist.
Ein Kristall ist trigonal, wenn es eine dreizählige Drehachse aufweist.

Die Tabelle rechts beschreibt alle Kristallformen die im hexagonalen Kristallsystem möglich sind.

Charakteristische hexagonale Kristalle

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Trigonales Kristallsystem

3 gleichlange Achsen des Achsenkreuzes liegen in verschiednen Ebenen und schneiden sich ungleich 90°.
a₁ = a₂ = a₃
α₁ = α₂ = α₃ ≠ 90°

Ein Kristall ist trigonal, wenn es eine dreizählige Drehachse aufweist.

Die Tabelle rechts beschreibt alle Kristallformen die im trigonalen Kristallsystem möglich sind.

Charakteristische trigonale Kristalle

Orthorhombisches Kristallsystem

Alle 3 Achsen des Achsenkreuzes sind verschieden lang, sie schneiden sich im rechten Winkel.
a ≠ b ≠ c
α = β = γ = 90°

Beispiel: Olivin

siehe > orthorhombisch

Charakteristische orthorhombische Kristalle

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Monoklines Kristallsystem

Alle 3 Achsen des Achsenkreuzes sind verschieden lang. 2 davon schneiden sich im rechten Winkel, der Winkel der dritten zu diesen beiden ist beliebig aber ungleich 90 Grad.
a ≠ b ≠ c
α = γ = 90°
β ≠ 90°

Ein Kristall ist monoklin, wenn er nur eine zweizählige Drehachse und / oder nur eine Symmetrieebene aufweist.
Beispiel: Gips

siehe > monoklin

Charakteristische monokline Kristalle

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Triklines Kristallsystem

Das trikline Kristallsystem umfasst alle Punktgruppen, die keine Drehachse besitzen. Das Wort triklin bedeutet dreifach geneigt (von altgriechisch τρία tria „drei“ und κλίνειν klinein „neigen“, „beugen“). Dieser Begriff bezieht sich darauf, dass im triklinen Gittersystem alle drei Achsen gegeneinander geneigt sein können. Das trikline Kristallsystem wird auch als anorthisches Kristallsystem bezeichnet und sein Gittersystem wird daher mit a abgekürzt (t hingegen steht für tetragonal). Weitere triklin kristallisierende chemische Stoffe siehe Kategorie: Triklines Kristallsystem

Triklines Kristallsystem

Alle 3 Achsen des Achsenkreuzes sind verschieden lang, die Winkel dazwischen sind beliebig, aber ungleich 90 Grad.
a ≠ b ≠ c
α ≠ β ≠ γ ≠ 90°

Ein Kristall ist triklin, wenn es weder Drehachsen noch Spiegelebenen aufweist.

Die Tabelle rechts beschreibt alle Kristallformen die im triklinen Kristallsystem möglich sind.

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Optische Orientierung

Alle kristallographische und optische Achsen sind nicht deckungsgleich.

Eine Indikatrix-Achse kann (üblicherweise aber nicht) parallel zu einer kristallographischen Achse liegen.

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Punktgruppen

Das trikline Kristallsystem umfasst die Punktgruppen 1 und 1. Sie gehören zur triklinen Kristallfamilie und können mit dem triklinen Gittersystem beschrieben werden.

Gittersystem

Das trikline Gittersystem hat die Holoedrie 1. Durch die Symmetrieelemente gibt es keine Bedingungen für die Gitterachsen, daher gilt: • a ≠ b ≠ c • α ≠ β ≠ γ ≠ 90 ∘ • Die Gittervektoren werden so gewählt, dass gilt: c < a < b und die Winkel α und β stumpfwinklig sind, γ dagegen spitzwinklig ist.

Bravaisgitter

Primitives triklines Bravaisgitter: aP Im Triklinen gibt es eigentlich nur das primitive Bravaisgitter. Trotzdem kommen in der Literatur verschiedene zentrierte Gitter vor.

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Literatur

• Bautsch, H.J., Kleber; W., Bohm, J., 1998; : Einführung in die Kristallographie. 18. Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, ISBN 3-341-01205-2, S. 68, 69 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
• Borchardt-Ott, W., 2002; Kristallographie. 6. Auflage. Springer, ISBN3-540-43964-1, S. 70, 7
• Hahn, T., Theo, (Hrsg.), 1983; International Tables for Crystallography Vol. A D. Reidel publishing Company
• Strunz, H., Nickel, E.H., 2001; Strunz Mineralogical Tables. 9. Auflage. E. Schweizerbart'sche Verlagsbuchhandlung (Nägele u. Obermiller), ISBN 3-510-65188-X, S. 4.
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Weblinks

• Kristallographisches Portrait/Kristallsystem
• Münchner Mineralienfreunde - Kristallsystem
• Münchner Mineralienfreunde - Kubisches Kristallsystem
• The Spacegroup Manual Version 1.2.1 (.pdf)

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Weiterführende Informationen im Lexikon

• Gitterkonstanten
• Kristallklasse
• Millersche Indizes

Einordnung

• Kategorie/Mineralogische Untersuchungsmethoden
• Kategorie/Kristallographie
• Kategorie/Mineralkunde