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Millersche Indizes

(engl.: Miller indices)

Begriff aus der Kristallographie zur Beschreibung von Kristallflächen.

Jeder Kristall besitzt abhängig von seinem Kristallsystem ein Koordinatensystem, dessen Ursprung innerhalb des Kristalls liegt. Die Kristallflächen schneiden die Koordinatenachsen an bestimmten Achsenabschnitten ( auch als Parameter bezeichnet).

Millersche Indizes sind das kleinste ganzzahlige Vielfache, bzw. Verhältnis der reziproken Achsenabschnitte. Sie sind immer ganzzahlige Werte, welche man durch Multiplikation der reziproken Achsenabschnitte mit dem kleinsten gemeinsamen Nenner erhält. Ein Miller-Index "0 / Null" bedeutet, daß die Fläche parallel zur entsprechenden Achse ist und somit keinen Schnittpunkt der Achse hat.

Mathematisch sind Millersche Indizes das Vielfache der Komponenten des senkrecht zur dazugehörigen Fläche stehenden Vektors.

Die Indizes werden generell als Triplett (hkl) geschrieben; im hexagonalen Sytem auch (hkil), wobei "i" = - (h+k). Negative Indizes kennzeichnet man mit einem Strich über der Zahl.

Verwirrung entsteht oftmals bei der Verwendung der verschiedenen Klammern:

geschweifte Klammern: {hkl} = Form, Beispiel: zum Hexaeder {100} gehören die Flächen (100),(010),(001),(100),(010) und (001).

runde Klammern: (hkl) = bestimmte Fläche, Beispiel: Die Flächen (001) und (001) liegen im kubischen Gitter in verschiedenen Richtungen; die Flächen laufen parallel, allerdings sind die Richtungen der Fläche, definiert über den Flächenvektor, entgegengesetzt.

eckige Klammern: [uvw] = Richtungen. [010], [100] und [001] stellen die Richtungen der Gitterachsen dar oder, beim Quarz bilden die Flächen z (0111), s (1121) und m (1010) in der selbe Zonenachse [01.1] ( = Richtung der Kanten).

Zur Verdeutlichung der Flächen dient die rechts stehende Graphik:

Dargestellt ist ein Kristall in einem orthogonalen Rechtssystem. Die Finger der rechten Hand bilden in der Reihe Daumen-Zeigefinger-Ringfinger die Achsen a-b-c. Orthogonal bedeutet, dass die Achsen jeweils rechte Winkel bilden. Eine weitere Vereinfachung ist der kubische Kristall.

Alle Flächen mit blauen Kanten sind Würfelflächen, Hexaederflächen. Diese Flächen sind vom Typ {100}. Die schraffierte Fläche ist (010).

Wie werden diese Zahlen in den Tripeln berechnet? Vorgestellt wird eine "hausbackene" Methode zum Verständnis. Für nichtorthogonale Systeme sei auf die weiterführende Literatur verwiesen. Als Beispiel dient die blau schraffierte Fläche. Sie verläuft in Richtung der a- und c-Achse bis ins unendliche und schneidet die b-Achse. Zur Berechnung werden die Kehrwerte der Schnittpunkte herangezogen. Irgendwas durch unendlich wird hierbei zu null definiert. Somit gilt für die erste und die letzte Zahl im Tripel der Wert 0. Um in der Schreibweise ganze Zahlen zu erhalten wird der Bruch jeweils auf ganze Zahlen erweitert. Die Fläche liegt auf der negativen Seite der b-Achse, schneidet also b bei -"Zahl". (1/unendlich 1/(-Zahl) 1/unendlich) liefert auf ganze Zahlen - hier mit dem Wert Zahl - erweitert: (0*Zahl Zahl/(-Zahl) 0*Zahl) Somit ist die Fläche vom Typ {010}, zeigt in Richtung [010] und ist die (010) Fläche.

Zur kleinen grünen "Oktaeder"-Fläche: b und c werden im negativen geschnitten, a im positiven. Die Achsenabschnite sind gleich, somit ist es einfach 1/Zahl, -1/Zahl, -1/Zahl, erweitert mit Zahl ergibt das (111).

Die anderen Flächen sind zum "Selbststudium". Die Lösung ist schrafffiert (101) und ohne Schraffur (102).

Literatur (tw. zitiert)

  • Borchardt-Ott; Kristallographie
  • Kleber,W., Bautsch, H.J., Bohm, J.; Einführung in die Kristallographie
  • Mason, B.; Berry, L.G.; 1959; Elements of Mineralogy
  • TU Ilmenau; Vorlesung Kristallographie (zitiert)
  • wikipedia.org/wiki (auszugsweise zitiert)

Weblinks

Deutsche Seiten

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Quellangaben

  • Zusammengestellt: Collector
  • überarbeitet: krizu

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